КИМ по математике (базовый уровень) 11 класс

Задания данного теста соответствуют теории по теме «Исследование показательных или логарифмических функций с помощью производной» в пределах учебного материала для выпускников 11 класса. Они предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут помочь выпускникам при подготовке к ЕГЭ. При решении заданий этого теста необходимо хорошо знать и уметь применять на практике алгоритм нахождения точек максимума и точек минимума функций, содержащих показательные или логарифмические функции: 1. Найти производную функции; 2. Приравнять к нулю производную функции и решить уравнение; 3. Если в точке экстремума (из п.2) производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, если с плюса на минус, то точка максимума. А также алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции f(x) на отрезке [a; b]: 1. Найти производную функции: f’(x). 2. Решить уравнение f’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому. 3. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка [a; b]. Оставшиеся числа обозначим x1, x2, ..., xn — их, как правило, будет немного. 4. Подставим концы отрезка [a; b] и точки x1, x2, ..., xn в исходную функцию. Получим набор чисел f(a), f(b), f(x1), f(x2), ..., f(xn), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение. В тесте представлены два варианта, в каждом из которых десять заданий и ответы к ним.

Задания данного теста соответствуют теории по теме «Производная и ее применение». Тест предназначен для проверки знаний, умений и навыков учащихся 10 – 11 классов по теме "Применение производной". В тесте представлены два варианта, в каждом из которых десять заданий, прототипов задачи типа В8 ЕГЭ. К тесту прилагаются ответы и указания к решению заданий. Данная задача В8 на применение производной. В задачи дан либо график функции, либо график производной функции. Если задан график функции, то найти необходимо максимумы функции, минимумы, промежутки монотонности..., если задан график производной функции, то найти требуется то, что относится к графику функции, чаще всего это количество целых точек, в которых производная положительна или отрицательна. Задача №2 данного теста на нахождение точек экстремума по графику производной. В момент, когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент, когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент, когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - производная равна нулю. Задача №3,4,8 на нахождение промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной функции). Задача №5 на нахождение точек, в которых касательная будет параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной). Таких заданий всего два типа. В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке. Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо: 1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами: • Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой; • Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например, если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1 2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой. 3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции. Задача №7 на нахождение наибольших и наименьших значений графика функции на заданном промежутке. Здесь важно понять, что если график функции возрастает, то первое значение отрезка, на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе - наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе - наименьшим. Задание №9 на нахождение значения производной в заданной точке на графике функции.