Вариационное исчисление для компактных экстремумов в H1 возникло недавно ([1], [2], [3]).
Начиная с 20–х годов прошлого века и вплоть до настоящего времени, основное внимание математиков, исследовавших чрезвычайно важные для приложений вариационные задачи в пространствах Соболева, уделя- лось задачам на абсолютный экстремум и условный абсолютный экстремум (см. [4], [5], [6]). Краткий обзор классических условий абсолютного экстремума рассмотрен в п. 2.1. Однако такой подход жестко ограничивает класс допустимых интегральных функционалов.
Глубинные причины отсутствия неабсолютных локальных экстремумов у вариационных функционалов в пространствах Соболева были вскрыты в замечательной теореме И.В. Скрыпника ([7]). Теорема утверждает, что основной вариационный функционал
дважды дифференцируем по Фреше только тогда, когда в окрестности данной точки интегрант чисто квадратичен по y′:
f (x, y, y′) = P (x, y) + Q(x, y) · y′ + R(x, y) · (y′)2.
Этот результат исключает (в неквадратичном случае) применение традиционных аналитических методов нахождения локального экстремума и по сути свидетельствует об отсутствии неабсолютных локальных экс- тремумов в рассматриваемой ситуации.
Таким образом, компактные экстремумы в H1 играют примерно ту же роль, что и локальные экстремумы в C1, т.е. локальное вариационное исчисление в H1 превращается в локально компактное исчисление.
Основной объект, рассмотренный в этом дипломе, — компактные экс- тремумы (или K–экстремумы) вариационных функционалов в про- странстве Соболева H1 функций одной переменной.
Диплом построен следующим образом. В первой главе (см. [8], [9]) изложены основы общей теории компактных экстремумов функционалов в гильбертовом пространстве. Здесь выясняется, что «K–понятия»
(K–экстремумы, K–непрерывность, K–дифференцируемость и т.д.) хорошо работают, когда известна удобная система универсальных компак- тов, поглощающих все остальные компакты. В гильбертовом пространстве такую систему образуют компактные эллипсоиды. Фундаментальную роль играет тот факт, что индуктивный предел шкалы банаховых пространств, порожденных K–эллипсоидами, совпадает с исходным гильбертовым пространством. Это позволяет получить K–аналитические условия для K–экстремумов, аналогичные классическим.
Во второй главе (см. [14], [5], [7]) переходим к вариационным функционалам в H1 и рассмотрим их K–аналитические свойства. Базовым здесь является понятие псевдоквадратичного интегранта, допускающего пред- ставление в виде
f (x, y, y′) = P (x, y, y′) + Q(x, y, y′) · y′ + R(x, y, y′) · (y′)2,
коэффициенты которого ограничены локально по y и глобально по x и y′. Такой подход позволяет уйти от традиционных жестких квадратичных оценок интегранта и существенно расширяет класс исследуемых функ- ционалов. Рассмотрены вейерштрассовские псевдоквадратичные классы гладкости W K2(z), W 1K2(z) и W 2K2(z), попадание интегранта в которые гарантируeт, соответственно, K–непрерывность, K–дифференцируемость и повторную K–дифференцируемость Φ(y). При этом классические ана- литические свойства у Φ(y), как правило, отсутствуют (как и следовало ожидать, с учетом теоремы Скрыпника ([7])). Описаны простые достаточные условия попадания интегранта в вейерштрассовские классы, поз- воляющие легко строить конкретные примеры.
В третьей главе (см. [12], [17], [18], [14]) рассмотрим ряд классических, как необходимых, так и достаточных условий локального экстремума в C1 обобщен на случай K–экстремума вариационного функционала в H1 (уравнение Эйлера–Лагранжа, условие Лежандра, условие Лежандра– Якоби). В частности, выполнение классических достаточных условий экс- тремума в гладкой точке дает информацию и о негладкой части области реализации экстремума (не входящей в C1). Помимо этого, рассмотрено новое достаточное условие экстремума в терминах гессиана интегранта и подробно изучена обратная задача для уравнения Эйлера–Лагранжа, где ситуация заметно отличается от гладкого случая.
variatsionnyij-funktsional-v-prostranstve-soboleva.pdf
Получите доступ ко всем материалам
Полный и неограниченный доступ ко всем материалам методической библиотеки на год с момента подачи и оплаты заявки. Доступ стоит 500 руб в год
Если Вы уже подавали заявку – тогда войдите или зарегистрируйтесь на сайте под тем же email-адресом, на который оформляли доступ
Также доступ ко всем материалам получают БЕСПЛАТНО
Участники Федерального учебно-методического объединения учителей
БЕСПЛАТНО
Участники объединения получают множество привилегий включая бесплатное прохождение любых курсов КПК и переподготовки (оплачивается только изготовление и отправка документов), бесплатные сертификаты, благодарственные письма, стажировки зарубеж, помощь в прохождении аттестации, юридическую помощь и многое другое.
Наши постоянные пользователи
БЕСПЛАТНО
Если Вы проходили профессиональную переподготовку (1 любой курс) или повышение квалификации (2 любых курса) в 21/22-м учебном году – Вы как наш постоянный клиент получаете много преимуществ, включая бесплатный доступ к трансляциям, получению сертификатов и многому другому.
Похожие материалы
Важнейшей задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий. Формирование способности и готовности учащихся реализовывать универсальные учебные действия позволит повысить эффективность образовательного процесса.
Цель этого курса - приобщение учащихся к духовно-нравственным ценностям и ключевым понятиям, открытие дополнительных возможностей для укрепления и развития духовных связей родителей и детей. Программа, способствует развитию творческого потенциала обучающихся. содействует духовно-нравственному развитию детей. Я работаю с учащимися начальных классов, обучающимися по системе развивающего обучения Л.В.Занкова, когда ведущими методами являются поисковая и исследовательская деятельность по добыванию знаний. Л.В.Занков говорил: «Школа должна не только удовлетворять запросы уже имеющиеся у детей, но и формировать духовные потребности». Реализация этих духовных потребностей возможна с использованием активных и интерактивных форм работы. Как гласит китайская пословица: «Скажи мне, я забываю. Покажи мне, я могу запомнить. Позволь мне сделать это, и это станет моим навсегда». Курс «Основы религиозных культур и светской этики» имеет большие возможности для использования активных и интерактивных методов для выработки системы знаний, помогающих судить о том, что следует и чего не следует делать, отличать добро от зла, прекрасное от безобразного.
Основы техники, методика обучения и правила организации соревнований
Комментарии