Вариационное исчисление для компактных экстремумов в H1 возникло недавно ([1], [2], [3]).
Начиная с 20–х годов прошлого века и вплоть до настоящего времени, основное внимание математиков, исследовавших чрезвычайно важные для приложений вариационные задачи в пространствах Соболева, уделя- лось задачам на абсолютный экстремум и условный абсолютный экстремум (см. [4], [5], [6]). Краткий обзор классических условий абсолютного экстремума рассмотрен в п. 2.1. Однако такой подход жестко ограничивает класс допустимых интегральных функционалов.
Глубинные причины отсутствия неабсолютных локальных экстремумов у вариационных функционалов в пространствах Соболева были вскрыты в замечательной теореме И.В. Скрыпника ([7]). Теорема утверждает, что основной вариационный функционал
дважды дифференцируем по Фреше только тогда, когда в окрестности данной точки интегрант чисто квадратичен по y′:
f (x, y, y′) = P (x, y) + Q(x, y) · y′ + R(x, y) · (y′)2.
Этот результат исключает (в неквадратичном случае) применение традиционных аналитических методов нахождения локального экстремума и по сути свидетельствует об отсутствии неабсолютных локальных экс- тремумов в рассматриваемой ситуации.
Таким образом, компактные экстремумы в H1 играют примерно ту же роль, что и локальные экстремумы в C1, т.е. локальное вариационное исчисление в H1 превращается в локально компактное исчисление.
Основной объект, рассмотренный в этом дипломе, — компактные экс- тремумы (или K–экстремумы) вариационных функционалов в про- странстве Соболева H1 функций одной переменной.
Диплом построен следующим образом. В первой главе (см. [8], [9]) изложены основы общей теории компактных экстремумов функционалов в гильбертовом пространстве. Здесь выясняется, что «K–понятия»
(K–экстремумы, K–непрерывность, K–дифференцируемость и т.д.) хорошо работают, когда известна удобная система универсальных компак- тов, поглощающих все остальные компакты. В гильбертовом пространстве такую систему образуют компактные эллипсоиды. Фундаментальную роль играет тот факт, что индуктивный предел шкалы банаховых пространств, порожденных K–эллипсоидами, совпадает с исходным гильбертовым пространством. Это позволяет получить K–аналитические условия для K–экстремумов, аналогичные классическим.
Во второй главе (см. [14], [5], [7]) переходим к вариационным функционалам в H1 и рассмотрим их K–аналитические свойства. Базовым здесь является понятие псевдоквадратичного интегранта, допускающего пред- ставление в виде
f (x, y, y′) = P (x, y, y′) + Q(x, y, y′) · y′ + R(x, y, y′) · (y′)2,
коэффициенты которого ограничены локально по y и глобально по x и y′. Такой подход позволяет уйти от традиционных жестких квадратичных оценок интегранта и существенно расширяет класс исследуемых функ- ционалов. Рассмотрены вейерштрассовские псевдоквадратичные классы гладкости W K2(z), W 1K2(z) и W 2K2(z), попадание интегранта в которые гарантируeт, соответственно, K–непрерывность, K–дифференцируемость и повторную K–дифференцируемость Φ(y). При этом классические ана- литические свойства у Φ(y), как правило, отсутствуют (как и следовало ожидать, с учетом теоремы Скрыпника ([7])). Описаны простые достаточные условия попадания интегранта в вейерштрассовские классы, поз- воляющие легко строить конкретные примеры.
В третьей главе (см. [12], [17], [18], [14]) рассмотрим ряд классических, как необходимых, так и достаточных условий локального экстремума в C1 обобщен на случай K–экстремума вариационного функционала в H1 (уравнение Эйлера–Лагранжа, условие Лежандра, условие Лежандра– Якоби). В частности, выполнение классических достаточных условий экс- тремума в гладкой точке дает информацию и о негладкой части области реализации экстремума (не входящей в C1). Помимо этого, рассмотрено новое достаточное условие экстремума в терминах гессиана интегранта и подробно изучена обратная задача для уравнения Эйлера–Лагранжа, где ситуация заметно отличается от гладкого случая.
variatsionnyij-funktsional-v-prostranstve-soboleva.pdf
Получите доступ ко всем материалам
Полный и неограниченный доступ ко всем материалам методической библиотеки на год с момента подачи и оплаты заявки. Доступ стоит 500 руб в год
Если Вы уже подавали заявку – тогда войдите или зарегистрируйтесь на сайте под тем же email-адресом, на который оформляли доступ
Также доступ ко всем материалам получают БЕСПЛАТНО
Участники Федерального учебно-методического объединения учителей
БЕСПЛАТНО
Участники объединения получают множество привилегий включая бесплатное прохождение любых курсов КПК и переподготовки (оплачивается только изготовление и отправка документов), бесплатные сертификаты, благодарственные письма, стажировки зарубеж, помощь в прохождении аттестации, юридическую помощь и многое другое.
Наши постоянные пользователи
БЕСПЛАТНО
Если Вы проходили профессиональную переподготовку (1 любой курс) или повышение квалификации (2 любых курса) в 21/22-м учебном году – Вы как наш постоянный клиент получаете много преимуществ, включая бесплатный доступ к трансляциям, получению сертификатов и многому другому.
Похожие материалы
В настоящее время внимание к проблеме развития творческих способностей школьников усиливается во многих странах мира. Задатки творческих способностей присущи любому ребенку, только нужно суметь раскрыть и развить их. Выпускникам средних школ следует не только овладевать материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы; а это возможно только в результате соответствующим образом организованной деятельности. В качестве условий для развития творческих способностей учащихся могут выступать соответствующие технологии обучения. Причем на старшей ступени обучения эти технологии целесообразно согласовывать с профильной направленностью обучения.
Таким образом, проблема поиска условий для развития творческих способностей учащихся является одной из острых и актуальных проблем современного отечественного образования.
Необходимость развития творческих способностей учащихся является на сегодняшний день одной из самых актуальных проблем дидактики. Действительно, способность творить, создавать новое, мыслить неординарно – это залог успеха человека в условиях современного стремительно изменяющегося мира. И в этом смысле творческая личность, поиск условий, необходимых для её становления является определяющим исходным пунктом дидактических исследований практической деятельности современного учителя.
Обобщение актуального педагогического опыта
Мир не стоит на месте, постоянно развивается. Современное общество выдвигает новые требования к школе, к образовательной среде в целом. Эти изменения нашли отражение в образовательном стандарте второго поколения, в основу которого положен системно-деятельностный подход, который «…ориентирует не только на усвоение знаний, но и на способы этого усвоения, на образцы и способы мышления и деятельности, на развитие познавательных сил и творческого потенциала ребёнка….». Еще Б.Шоу сказал: «Единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность».
Комментарии